石景山區(qū)—學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷高三數(shù)學(xué)（理科）本試卷共6頁(yè)，滿(mǎn)分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.請(qǐng)務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效，考試結(jié)束后上交答題卡.第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)． 1．已知集合，，那么（ ）A．B．C．D．2．復(fù)數(shù)（ ）A．B．C．D．3．已知向量，，則“”是“∥”的（ ）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件4．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，那么數(shù)列通項(xiàng)公式為（ ）A．B．C．D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的的值為，則輸出的的值為（ �。〢．B．C．D． 6． 在邊長(zhǎng)為的正方形中任取一點(diǎn)，則點(diǎn)恰好落在正方形與曲線圍成的區(qū)域內(nèi)(陰影部分)的概率為（ ）A．B．C．D．7．用到這個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）A．B． C．D．8．已知函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間上方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A．B．C．D．第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9．的參數(shù)方程為為參數(shù)，則圓的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)______________，圓心到直線的距離為_(kāi)_____． 1．中，角的對(duì)邊分別為，若，，，則______．11．，滿(mǎn)足約束條件則 ．12．中，，是上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與交于點(diǎn)，與切于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為 ，的長(zhǎng)為 ． 13．的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作于，若直線的傾斜角為，則______． 14． 是邊長(zhǎng)為的正方形，且平面，為上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)且垂直于的平面交于，那么異面直線與所成的角的度數(shù)為 ，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)， 四棱錐的長(zhǎng)為 ．三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．15．（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù)．在上的最小值，并寫(xiě)出取最小值時(shí)相應(yīng)的值．13分）北京市各級(jí)各類(lèi)中小學(xué)每年都要測(cè)試，測(cè)試總成績(jī)滿(mǎn)分為分測(cè)試成績(jī)?cè)谥g為體質(zhì)優(yōu)秀；在之間為體質(zhì)良好；在之間為體質(zhì)合格；在之間為體質(zhì)不合格． 現(xiàn)從某校高年級(jí)的名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢?356801122333445667797056679645856（Ⅰ）試估計(jì)該校高年級(jí)體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；名學(xué)生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)名學(xué)生，再?gòu)倪@名學(xué)生中選出人．名學(xué)生中至少有名體質(zhì)為優(yōu)秀的概率；（?）記為名學(xué)生中體質(zhì)為良好的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望． 如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，為的中點(diǎn)．（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合），使得∥平面?若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）已知函數(shù)在處取得極小值，不等式的解集為，若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（本小題滿(mǎn)分14分）已知橢圓：（）過(guò)點(diǎn)，且橢圓的離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，再過(guò)作直線.證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).20．（本小題滿(mǎn)分13分）已知集合，對(duì)于數(shù)列中.（Ⅰ）若項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，，則數(shù)列中有多少項(xiàng)取值為零？()（Ⅱ）若各項(xiàng)非零數(shù)列和新數(shù)列滿(mǎn)足（）．（?）若首項(xiàng)，末項(xiàng)，求證數(shù)列是等差數(shù)列；（?）若首項(xiàng)，末項(xiàng)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最大值和最小值．石景山區(qū)—學(xué)年第一學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．題號(hào)12345678答案DCAACBBD二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． 題號(hào)91011121314答案，，，(兩空的題目第一空2分，第二空3分)三、解答題共6小題，共80分．15．（本小題共13分）解：（Ⅰ） …………2分 ， ……………4分 ，， ，， ……………6分所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．，， ……………9分， ， ……………11分 所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值．13分）解：（Ⅰ）根據(jù)抽樣，估計(jì)該校高三學(xué)生中體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)有人．（Ⅱ）依題意，體質(zhì)為良好和優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)之比為 ．，從體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生中抽取的人數(shù)為． ……………6分（?）設(shè)“在選出的名學(xué)生中至少有名體質(zhì)為優(yōu)秀”為事件，則 ．名學(xué)生中至少有名體質(zhì)為優(yōu)秀的概率為．的所有取值為．， ，．的分布列為: ．因?yàn)槠矫�，平面，所�? ……………1分取因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪�，∥，，且，所以四邊形為正方形，所以，且，所以，�? ……………3分又， 所以平面. ……………4分（Ⅱ）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系． ……………5分則，，，，所以，，．因?yàn)槠矫�，所以為平面的一個(gè)法向量． ……………6分 設(shè)平面的法向量為， 由，得 令，則，， 所以是平面的一個(gè)法向量． ……………8分 所以 因?yàn)槎娼菫殇J角， 所以二面角的余弦值為． ……………9分（Ⅲ）解：假設(shè)在線段上存在點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合），使得∥平面． 設(shè)，則，． 設(shè)平面的法向量為，由，得令，則，，所以是平面的一個(gè)法向量．因?yàn)椤纹矫�，所以，即�?……………13分解得，所以在線段上存在一點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合），使得∥平面，且．8.（本小題共13分）解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，， ，得， ……………2分所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為. ……………3分（Ⅱ）.當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間； ……………5分當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.……………7分（Ⅲ）由題意知得，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)在處取得極小值. ……………8分因?yàn)�，所以在上有解，即使成立�?……………9分即使成立， …………10分所以.令，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則， ……………12分 所以. ……………13分19．（本小題共14分）解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以， 所以， ……………1分 因?yàn)闄E圓的離心率為， 所以，即 ， ……………2分 解得， ……………4分 所以橢圓的方程為. ……………5分 （Ⅱ）設(shè)，， ①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，， 由得， ……………7分所以， ……………8分因?yàn)�，即為中點(diǎn)，所以，即. 所以， ……………9分 因?yàn)橹本�， 所以，所以直線的方程為，即 ，顯然直線恒過(guò)定點(diǎn). ……………11分②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線為軸，也過(guò)點(diǎn). ……………13分綜上所述直線恒過(guò)定點(diǎn). ……………14分20．（本小題共13分）解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列中項(xiàng)為分別有項(xiàng)．由題意知解得．所以數(shù)列中有項(xiàng)取值為零． ……………3分（Ⅱ）（?）且，得到，若，則滿(mǎn)足．此時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列；若中有個(gè)，則不滿(mǎn)足題意；所以數(shù)列是等差數(shù)列． ……………7分（?）因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足，所以，根據(jù)題意有末項(xiàng)，所以．而，于是為正奇數(shù)，且中有個(gè)和個(gè)．要求的最大值，則只需前項(xiàng)取，后項(xiàng)取，所以 （為正奇數(shù)）．要求的最小值，則只需前項(xiàng)取，后項(xiàng)取，則 （為正奇數(shù)）． …………13分【注：若有其它解法，請(qǐng)酌情給分．】 每天發(fā)布最有價(jià)值的高考資源 每天發(fā)布最有價(jià)值的高考資源 1 12 每天發(fā)布最有價(jià)值的是輸入輸出開(kāi)始結(jié)束否．（試題全）北京市石景山區(qū)屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題（WORD版，含答案）
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