2013年12月高三數(shù)學理科模擬試題(附答案)

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高三理科數(shù)學
第Ⅰ卷 ( 50分)
一、(本大題共10小題,每小題5分,共50分. 在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1. 已知復數(shù) 滿足 ,那么復數(shù) 的虛部為( )
A. 1 B. C. D.
2. 已知 , ,則 ( )
A. B. C. D.
3. 下列四個命題中,假命題為( )
A. 存在 ,使 B.存在 ,使
C. 任意 ,使 D. 任意 ,使
4. 已知向量 , ,若A,B,C是銳角 的三個內(nèi)角,則 與 的夾角為( )
A.銳角 B. 直角 C. 鈍角 D. 以上都不對
5. 從一個棱長為1的正方體中切去一部分,得到一個幾何體,其三視圖如下圖,則該幾何體的體積為( )
A. B. C. D.

6. 執(zhí)行如下圖所示的程序框圖,則輸出 的結(jié)果是( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

7. 定義運算 * ,則函數(shù) 的圖像是( )


8. 已知數(shù)組 , ,…, 滿足線性回歸方程 ,則“ 滿足線性回歸方程 ”是“ , ”的( )
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
9. 若圓 : 關(guān)于直線 對稱,則 的最小值是( )
A. 2 B. C. D.
10. 如圖,是中國西安世界園藝博覽會某區(qū)域的綠化美化示意圖,其中A、B、C、D是被劃分的四個區(qū)域,現(xiàn)用紅、黃、藍、白4種不同顏色的花選栽,要求每個區(qū)域只能栽同一種花,允許同一顏色的花可以栽在不同的區(qū)域,但相鄰的區(qū)域不能栽同一色花,則A、D兩個區(qū)域都栽種紅花的概率是( )
A. B. C. D.


第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)
二、題:(本小題共5小題,每小題5分,共25分,將答案填寫在題中的橫線上)
11. 在二項式 的展開式中,各項系數(shù)之和為 ,各項二項式系數(shù)之和為 ,且
,則 .
12. 設(shè) 是定義在R上最小正周期為 的函數(shù),且在 上 ,則 的值為 .
13. 有一個奇數(shù)列1, 3, 5, 7, 9,…,現(xiàn)在進行如下分組:第一組含一個數(shù) ,第二組含兩個數(shù) ,第三組含三個數(shù) ,第四組含四個數(shù) ,…,現(xiàn)觀察猜想每組內(nèi)各數(shù)之和為 與其組的編號數(shù) 的關(guān)系為 .
14. 設(shè)橢圓 的中心、右焦點、右頂點依次分別為 、 、 ,且直線 與 軸相交于點 ,則 最大時橢圓的離心率為 .
15. (考生注意:請在下列三道試題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評閱記分)
A.(不等式選做題)若不等式 對一切非零實數(shù) 恒成立,則實數(shù) 的取值范圍為 .
B.(幾何證明選做題)如右圖,直角三角形 中, , ,以 為直徑的圓交 邊于點 , ,則 的大小為 .

C.(極坐標與參數(shù)方程選做題)若直線 的極坐標方程為 ,圓 : ( 為參數(shù))上的點到直線 的距離為 ,則 的最大值為 .
三、解答題:(本大題共6小題,共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
16. (本大題滿分12分)
已知函數(shù) (其中 )的圖像如圖所示.
(1)求函數(shù) 的解析式;
(2)求函數(shù) 的零點.


17.(本大題滿分12分)
已知等比數(shù)列 中, 是 與 的等差中項,且 , .
(1)求數(shù)列 的通項公式;
(2)已知數(shù)列 滿足: ,( ),求數(shù)列 前 項和

18. (本小題滿分12分)
如圖直三棱柱 中, , 是 上一點,且 平面 .
(1)求證: 平面 ;
(2)在棱 是否存在一點 ,使平面 與平面 的夾角等于 ,若存在,試確定 點的位置,若不存在,請說明理由.

19.(本小題滿分12分)
某批發(fā)市場對某種商品的日銷售量(單位:噸)進行統(tǒng)計,最近50天的統(tǒng)計結(jié)果如下:
若以下表頻率作為概率,且每天的銷售量相互獨立.
日銷售量11.52
頻數(shù)102515
頻率0.2

(1)求 的值
(2)5天中該種商品恰好有2天的銷售量為1.5噸的概率;
(3)已知每噸該商品的銷售利潤為2千元, 表示該種商品兩天銷售利潤的和(單位:千元),求 的分布列及數(shù)學期望


20.(本小題滿分13分)
已知拋物線 ,過點 (其中 為正常數(shù))任意作一條直線 交拋物線 于 兩點, 為坐標原點.
(1)求 的值;
(2)過 分別作拋物線 的切線 ,試探求 與 的交點是否在定直線上,證明你的結(jié)論.


21. (本小題滿分14分)
已知函數(shù) , .
(1)若直線 交 的圖像 于 兩點,與 平行的另一條直線 切圖像于 ,求證: 三點的橫坐標成等差數(shù)列;
(2)若不等式 恒成立,求 的取值范圍;
(3)求證: (其中 為無理數(shù),約為2.71828).


理科數(shù)學答案
一、選擇題
題號12345678910
答案BDDACBDBAA
二.題
11. ; 12. ; 13. ; 14. ;
15.A. ;B. ; C. .
三、解答題
16.解:(Ⅰ)由圖知 , ,
∴ ……………3分
∴ 又∵
∴sin( )=1, ∴ = ,j= + ,(kÎZ)
∵ ,∴j=
∴函數(shù)的解析式為 ……………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知: ,
∴ ……………9分

∴函數(shù) 的零點為 ……………12分
17.解:(I)由已知得
……………6分
(II)當 時 ,
因為
當 ≥ 時
兩式相減得 ,得 . ……………10分
……………12分
18.證明:(Ⅰ)∵ 平面 ,∴ .
∵ 是直三棱柱,∴ 平面 ,∴ .
∵ , 平面 , 平面 ,
∴ 平面 . ……………6分
(Ⅱ) 平面 .∴ .又 ,于是可建立如圖所示的空間直角坐標系 .∵ 是等腰直角三角形,且斜邊 ,
∴ .
從而,
設(shè)存在滿足條件的點 坐標為
由(Ⅰ)知平面 的法向量 = , …6分
令平面 的法向量

令 得 .
平面 與平面 的夾角等于
∴ ,的
所以當 為棱 中點時平面 與平面 的夾角等于 . ……………12分
19.解:(I)表中 ……………2分
(II)依照題意得一天的銷售量為1.5噸的概率
5天中該種商品恰好有 天的銷售量為1.5,則
……………6分
(Ⅲ) 的取值為4,5,6,7,8
; ;
; ;
……………9分
的分布列為

45678

0.040.20.370.30.09

……………12分
20.解:(Ⅰ)設(shè)直線 方程為 ,
消去 得 ,所以
=
故 . ……………6分
(Ⅱ)
方程為 整理得
同理得 方程為 ……………9分
聯(lián)立方程
得 ,
故 的交點在定直線 上. ……………13分
21.解:(Ⅰ)設(shè)切點 的橫坐標為 , 點的橫坐標分別為 ;
因為 ,所以 ;令 方程為
消去 得 ,當 時
,所以 三點的橫坐標成等差數(shù)列. ……………4分
(Ⅱ)令 , ,
令 ,得 ,所以 的減區(qū)間為 ,增區(qū)間為 , = ,只要 即可,
得 且 ,即 . ……………10分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)得 ,即 ,所以
……………14分




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