數(shù)學(xué)Ⅰ卷
參考公式:
樣本數(shù)據(jù) 的標(biāo)準(zhǔn)差 ,其中 .
一、題:本大題共14小題,每小題5分,共計(jì)70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.
1.若集合 , ,則 = ▲ .
2.設(shè)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù) 為純虛數(shù),則實(shí)數(shù) 的值為 ▲ .
3.已知樣本 的平均數(shù)是 ,且 ,則此樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是 ▲ .
4.在集合 中任取一個(gè)元素,
所取元素恰好滿足方程 的概率是 ▲ .
5.已知雙曲線與橢圓 有相同的焦點(diǎn),且它們的
離心率互為倒數(shù),則該雙曲線的方程為 ▲ .
6.已知某算法的偽代碼如右,根據(jù)偽代碼,若函數(shù)
7. 在 上有且只有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)
的取值范圍是 ▲ .
7.已知 ,則 ▲ .
8.有一個(gè)正四面體的棱長為 ,現(xiàn)用一張圓形的包裝紙將其完全包住(不能裁剪紙,但可以折疊),那么包裝紙的最小半徑為 ▲ .
9.過點(diǎn) 的直線將圓 分成兩段圓弧,要使這兩段弧長之差最大,則該直線的方程為 ▲ .
10.已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ,且 的最大值為8,則
▲ .
11.已知中心為 的正方形 的邊長為2,點(diǎn) 分別為線段 上的兩個(gè)不同點(diǎn),且 ,則 的取值范圍是 ▲ .
12.在數(shù)列 中,已知 , ,當(dāng) 時(shí), 是 的個(gè)位數(shù),
則 ▲ .
13.已知 ,若實(shí)數(shù) 滿足 ,則 的最小值是 ▲ .
14.設(shè)曲線 在點(diǎn) 處的切線為 ,曲線 在點(diǎn) 處的切線為 .若存在 ,使得 ,則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ▲ .
二、解答題: 本大題共6小題,共計(jì)90分.請?jiān)诖痤}卡指定的區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、求證過程或演算步驟.
15.(本小題滿分14分)
設(shè) 的內(nèi)角 所對的邊分別為 .已知 , , .
⑴求邊 的長;
⑵求 的值.
16.(本小題滿分14分)
如圖,在四棱錐 中, 平面 ,四邊形 是平行四邊形,且 , , , 分別是 , 的中點(diǎn).
(1)求證: 平面 ;
(2)若 ,垂足為 ,求證: .
17.(本小題滿分14分)
某人 年底花 萬元買了一套住房,其中首付 萬元, 萬元采用商業(yè)貸款.貸款的月利率為 ‰,按復(fù)利計(jì)算,每月等額還貸一次, 年還清,并從貸款后的次月開始還貸.
⑴這個(gè)人每月應(yīng)還貸多少元?
⑵為了抑制高房價(jià),國家出臺(tái)“國五條”,要求賣房時(shí)按照差額的20%繳稅.如果這個(gè)人現(xiàn)在將住房 萬元賣出,并且差額稅由賣房人承擔(dān),問:賣房人將獲利約多少元? (參考數(shù)據(jù): )
18.(本小題滿分16分)
已知橢圓 : 的離心率為 ,右焦點(diǎn)為 ,且橢圓 上的點(diǎn)到點(diǎn) 距離的最小值為2.
⑴求橢圓 的方程;
⑵設(shè)橢圓 的左、右頂點(diǎn)分別為 ,過點(diǎn) 的直線 與橢圓 及直線 分別相交于點(diǎn) .
(?)當(dāng)過 三點(diǎn)的圓半徑最小時(shí),求這個(gè)圓的方程;
(?)若 ,求 的面積.
19.(本小題滿分16分)
已知數(shù)列 ,其前 項(xiàng)和為 .
⑴若對任意的 , 組成公差為 的等差數(shù)列,且 , ,求 的值;
⑵若數(shù)列 是公比為 的等比數(shù)列, 為常數(shù),求證:數(shù)列 為等比數(shù)列的充要條件為 .
20.(本小題滿分16分)
已知函數(shù) , , .
⑴求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;
⑵記函數(shù) ,當(dāng) 時(shí), 在 上有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí) 數(shù) 的取值范圍;
⑶記函數(shù) ,證明:存在一條過原點(diǎn)的直線 與 的圖象有兩個(gè)切點(diǎn).
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數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)
21.【選做題】本題包括A、B、C、D四小題,請選定其中兩題,并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.若多做,則按作答的前兩題評分. 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.[選修4-1:幾何證明選講](本小題滿分10分)
如圖, 的半徑 垂直于直徑 , 為 上一點(diǎn), 的延長線交 于點(diǎn) , 過 點(diǎn)的切線交 的延長線于點(diǎn) .
(1)求證: ;
(2)若 的半徑為 , ,
求 長.
B.[選修4-2:矩陣與變換](本小題滿分10分)
設(shè) , ,試求曲線 在矩陣 變換下的曲線方程.
C.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](本小題滿分10分)
在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn) 為圓 上任一點(diǎn).求點(diǎn) 到直線 的距離的最小值與最大值.
D.[選修4-5:不等式選講](本小題滿分10分)
已知 為正數(shù),且滿足 ,求證: .
【必做題】第22題、第23題,每題10分,共計(jì)20分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
22.過直線 上的動(dòng)點(diǎn) 作拋物線 的兩切線 , 為切點(diǎn).
(1)若切線 的斜率分別為 ,求證: 為定值;
(2)求證:直線 過定點(diǎn).
23.已知 .
⑴求 及 ;
⑵試比較 與 的大小,并說明理由.
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數(shù)學(xué)Ⅰ參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)
一、題:1. 2.3 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12. 13.9 14.
二、解答題:
15.⑴由 ,得 .………………………………………………2分
因?yàn)?, ,所以 ,…………………………………………………4分
所以 ,
所以 .…………………………………………………………………………… 7分
⑵因?yàn)?, ,
所以 ,…………………………………9分
所以 ,……………………………………………………11分
因?yàn)?,所以 ,故 為銳角,所以 ,
所以 . …………14分
16.(1)取 的中點(diǎn) ,連結(jié) , ,
因?yàn)?是 的中點(diǎn),所以 , ,
又因?yàn)?是 中點(diǎn),所以 ,
因?yàn)樗倪呅?是平行四邊形;
所以 ,所以 ,
所以四邊形 是平行四邊形,…………4分
所以 .因?yàn)?平面 ,
平面 ,
所以 平面 .……………………6分
(2)因?yàn)?平面 , 平面 ,
所以 ,又因?yàn)?, ,
平面 , 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,
所以 . ……………………………9分
又 , , 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,……………………12分
又 , 是 中點(diǎn),所以 ,……………………………………13分
又 , 平面 , 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以 .……………………………………………………14分
17.⑴設(shè)每月應(yīng)還貸 元,共付款 次,則有
,…………4分
所以 (元).………………………………6分
答:每月應(yīng)還貸 元.………………………………………………………………7分
⑵賣房人共付給銀行 元,
利息 (元),………………………………………………10分
繳納差額稅 (元),………………………………12分
(元).
答:賣房人將獲利約 元.………………………………………………………14分
18.⑴由已知, ,且 ,所以 , ,所以 ,
所以橢圓 的方程為 .………………………………………………………3分
⑵(?)由⑴, , ,設(shè) .
設(shè)圓的方程為 ,將點(diǎn) 的坐標(biāo)代入,得
解得 ……………………………………………6分
所以圓的方程為 ,
即 ,
因?yàn)?,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),圓的半徑最小,
故所求圓的方程為 .………………………………………9分
(?)由對稱性不妨設(shè)直線 的方程為 .
由 得 ,……………………………………………11分
所以 , ,
所以 ,
化簡,得 ,…………………………………………………………14分
解得 ,或 ,即 ,或 ,
此時(shí)總有 ,所以 的面積為 .…………………………16分
19.⑴因?yàn)?成公差為 的等差數(shù)列,
所以 ,……………………………………………2分
所以 是公差為 的等差數(shù)列,且
, ……………………………4分
又因?yàn)?,所以
,
所以 ,所以 .……………………………………………6分
⑵因?yàn)?,所以 , ①
所以 , ②
②-①,得 , ③ ……………………………8分
(?)充分性:因?yàn)?,所以 ,代入③式,得
,因?yàn)?,又 ,
所以 , ,所以 為等比數(shù)列,……………………………………12分
(?)必要性:設(shè) 的公比為 ,則由③得 ,
整理得 ,……………………………………………14分
此式為關(guān)于n的恒等式,若 ,則左邊 ,右邊 ,矛盾;
,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立,所以 .
由(?)、(?)可知,數(shù)列 為等比數(shù)列的充要條件為 .…………………16分
20.(1)因?yàn)?,
①若 ,則 , 在 上為增函數(shù),…………………………2分
②若 ,令 ,得 ,
當(dāng) 時(shí), ;當(dāng) 時(shí), .
所以 為單調(diào)減區(qū)間, 為單調(diào)增區(qū)間.
綜上可得,當(dāng) 時(shí), 為單調(diào)增區(qū)間,
當(dāng) 時(shí), 為單調(diào)減區(qū)間, 為單調(diào)增區(qū)間. ……………4分
(2) 時(shí), ,
, ……………………………………………………5分
在 上有且只有一個(gè)極值點(diǎn),即 在 上有且只有一個(gè)根且不為重根,
由 得 , ………………………………………………………6分
(i) , ,滿足題意;…………………………………………………………7分
(ii) 時(shí), ,即 ;………………………………………8分
(iii) 時(shí), ,得 ,故 ;
綜上得: 在 上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí), . ……………………………9分
注:本題也可分離變量求得.
(3)證明:由(1)可知:
(i)若 ,則 , 在 上為單調(diào)增函數(shù),
所以直線 與 的圖象不可能有兩個(gè)切點(diǎn),不合題意.……………………10分
(?)若 , 在 處取得極值 .
若 , 時(shí),由圖象知不可能有兩個(gè)切點(diǎn).…………………………11分
故 ,設(shè) 圖象與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 (不妨設(shè) ),
則直線 與 的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)即為直線 與 和 的切點(diǎn).
, ,
設(shè)切點(diǎn)分別為 ,則 ,且
, , ,
即 , ①
, ②
,③
①-②得: ,
由③中的 代入上式可得: ,
即 , ……………………………………………………………14分
令 ,則 ,令 ,因?yàn)?, ,
故存在 ,使得 ,
即存在一條過原點(diǎn)的直線 與 的圖象有兩個(gè)切點(diǎn).……………………16分
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數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)
21.
A.(1)連結(jié)ON.因?yàn)镻N切⊙O于N,所以 ,
所以 .
因?yàn)?,所以 .
因?yàn)?于O,所以 ,
所以 ,所以 .
所以 .……………………5分
(2) , , .
因?yàn)?,
所以 .…………………………………………………………………………10分
B. ,…………………………………………………4分
設(shè) 是曲線 上的任意一點(diǎn),在矩陣 變換下對應(yīng)的點(diǎn)為 .
則 ,所以 即 ……………………………………8分
代入 ,得 ,即 .
即曲線 在矩陣 變換下的曲線方程為 .……………………10分
C.圓 的普通方程為 ,……………………… 2分
直線 的普通方程為 ,…………………………… 4分
設(shè)點(diǎn) ,
則點(diǎn) 到直線 的距離 ,
…………………………………………………………………………………………8分
所以 ; .………………………………………………10分
D.由柯西不等式,得
.…………………………………………………………10分
22.(1)設(shè)過 作拋物線 的切線的斜率為 ,則切線的方程為 ,
與方程 聯(lián)立,消去 ,得 .
因?yàn)橹本€與拋物線相切,所以 ,
即 . 由題意知,此方程兩根為 ,
所以 (定值). ……………………………………………………………………4分
(2)設(shè) ,由 ,得 .
所以在 點(diǎn)處的切線斜率為: ,因此,切線方程為: .
由 ,化簡可得, .
同理,得在點(diǎn) 處的切線方程為 .
因?yàn)閮汕芯€的交點(diǎn)為 ,故 , .
所以 兩點(diǎn)在直線 上,即直線 的方程為: .
當(dāng) 時(shí), ,所以直線 經(jīng)過定點(diǎn) .……………………………………10分
23.⑴令 ,則 ,令 ,則 ,所以 .……2分
⑵要比較 與 的大小,只要比較 與 的大�。�
當(dāng) 時(shí), ;當(dāng) 或 時(shí), ,
當(dāng) 或 時(shí), ,
猜想:當(dāng) 時(shí), .下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:…………………4分
①由上述過程可知,當(dāng) 時(shí),結(jié)論成立.…………………………………………5分
②假設(shè)當(dāng) 時(shí)結(jié)論成立,即 ,
兩邊同乘以 ,得 ,
而
,
所以 ,
即 時(shí)結(jié)論也成立.
由①②可知,當(dāng) 時(shí), 成立.……………………………………9分
綜上所述,當(dāng) 時(shí), ;當(dāng) 或 時(shí), ;
當(dāng) 時(shí), .………………………………………………………10分
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