高二數(shù)學(xué)解題技巧:換元法講解

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高二數(shù)學(xué)解題技巧:換元法講解

換元的思想和方法,在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,靈活運(yùn)用換元法解題,有助于數(shù)量關(guān)系明朗化,變繁為簡(jiǎn),化難為易,給出簡(jiǎn)便、巧妙的解答。

在解題過(guò)程中,把題中某一式子如f(x),作為新的變量y或者把題中某一變量如x,用新變量t的式子如g(t)替換,即通過(guò)令f(x)=y或x=g(t)進(jìn)行變量代換,得到結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單便于求解的新解題方法,通常稱(chēng)為換元法或變量代換法。

用換元法解題,關(guān)鍵在于根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征,選擇能以簡(jiǎn)馭繁,化難為易的代換f(x)=y或x=g(t)。就換元的具體形式而論,是多種多樣的,常用的有有理式代換,根式代換,指數(shù)式代換,對(duì)數(shù)式代換,三角式代換,反三角式代換,復(fù)變量代換等,宜在解題實(shí)踐中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn),掌握有關(guān)的技巧。

例如,用于求解代數(shù)問(wèn)題的三角代換,在具體設(shè)計(jì)時(shí),宜遵循以下原則:(1)全面考慮三角函數(shù)的定義域、值域和有關(guān)的公式、性質(zhì);(2)力求減少變量的個(gè)數(shù),使問(wèn)題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單化;(3)便于借助已知三角公式,建立變量間的內(nèi)在聯(lián)系。只有全面考慮以上原則,才能謀取恰當(dāng)?shù)娜谴鷵Q。

換元法是一種重要的數(shù)學(xué)方法,在多項(xiàng)式的因式分解,代數(shù)式的化簡(jiǎn)計(jì)算,恒等式、條件等式或不等式的證明,方程、方程組、不等式、不等式組或混合組的求解,函數(shù)表達(dá)式、定義域、值域或最值的推求,以及解析幾何中的坐標(biāo)替換,普通方程與參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化等問(wèn)題中,都有著廣泛的應(yīng)用。

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