2012屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)函數(shù)的奇偶性歸納復(fù)習(xí)教案

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高三 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)


一.知識(shí)點(diǎn)
1.定義: 設(shè)y=f(x),定義域?yàn)锳,如果對(duì)于任意 ∈A,都有 ,稱y=f(x)為偶函數(shù)。
設(shè)y=f(x) ,定義域?yàn)锳,如果對(duì)于任意 ∈A,都有 ,稱y=f(x)為奇函數(shù)。
如果函數(shù) 是奇函數(shù)或偶函數(shù),則稱函數(shù)y= 具有奇偶性。
2.性質(zhì):
①函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
②y=f(x)是偶函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于 軸對(duì)稱,  
y=f(x)是奇函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
③偶函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反,
奇函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同,
④若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則它可表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和

⑤奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇
[兩函數(shù)的定義域D1 ,D2,D1∩D2要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱]
⑥對(duì)于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函數(shù),則F(x)是偶函數(shù)
若g(x)是奇函數(shù)且f(x)是奇函數(shù),則F(x)是奇函數(shù)
若g(x)是奇函數(shù)且f(x)是偶函數(shù),則F(x)是偶函數(shù)
3.函數(shù)奇偶性的判斷
①看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱��;②看f(x)與f(-x)的關(guān)系;
二.例題選講
例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性
(1) ; (2) ;
(3) ; (4)
解:(1)定義域?yàn)?,對(duì)稱于原點(diǎn),又
, 為奇函數(shù)
(2)由 得定義域?yàn)?,關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,所以 沒有奇、偶性。
(3)由 且 得定義域?yàn)?,對(duì)稱于原點(diǎn)
,得 ,知 是奇函數(shù)
(4)定義域?yàn)?,對(duì)稱于原點(diǎn),
當(dāng) 時(shí), ,所以
當(dāng) 時(shí), ,所以 ,故 是奇函數(shù)
例2.已知g(x)為奇函數(shù), ,且f(-3)= ,求f(3);
解: ,
,將兩式相加,結(jié)合g(x)為奇函數(shù),可得:
;
變式:已知函數(shù)f(x),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+2x-1
① 若f(x)為R上的奇函數(shù),能否確定其解析式?請(qǐng)說明理由。
② 若f(x)為R上的偶函數(shù),能否確定其解析式?請(qǐng)說明理由。
解:① 可確定: ②不可確定: 處沒有定義;
例3.函數(shù) 的定義域?yàn)镈= ,且對(duì)于任意的 ,都有
;(1)求 的值; (2)判斷 的奇偶性并證明;
(3)如果 , ,且 在 上是增函數(shù),求 的取值范圍。
解:(1)令 可得:
(2)令 可得: ;再令 可得: ;
所以: 為偶函數(shù)
(3) ,
原不等式可化為:
又 在 上是增函數(shù)
解得: 或 或
變式一:定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x),對(duì)任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)?f(y)且
f(0)≠0 ;①求證:f(0)=1��;②求證:y=f(x)是偶函數(shù);
證:①令x=y=0,則f(0)+f(0)=2f2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1;
②令x=0,則f(y)+f(-y)=2f(0)?f(y);∴f(-y)=f(y) ; ∴y=f(x)是偶函數(shù);
變式二:設(shè)函數(shù) 是奇函數(shù),且當(dāng) 時(shí)是增函數(shù),若f(1)=0,求不等式 的解集;
解:由 可得: ,
由前一不等式可解得; ;
由后一不等式可解得: ,
故原不等式的解集為:
例4.已知函數(shù) 是奇函數(shù),(1)求m的值;(2)當(dāng) 時(shí),求 的最大值與最小值。
解:(1)因?yàn)?是奇函數(shù),所以 ,即 ,得m=0
(2) 因?yàn)?, ①當(dāng)p<0時(shí), ,所以 在 上是增函數(shù),

②當(dāng)p>0時(shí),知 在 上是減函數(shù),在 上是增函數(shù);
(A)當(dāng) 時(shí), 在 上是增函數(shù),

(B)當(dāng) 時(shí), 是 在 上的一個(gè)極小值點(diǎn),且
;
(C)當(dāng) 時(shí), 是 在 上的一個(gè)極小值點(diǎn),且f(1)
(D)當(dāng) 時(shí), 在 上是減函數(shù),
;

本文來自:逍遙右腦記憶 http://www.simonabridal.com/gaosan/55271.html

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