高考導(dǎo)航
考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能用這些特征描述簡單物體的結(jié)構(gòu).
2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識(shí)別三視圖表示的立體模型；會(huì)制作模型，會(huì)用斜二測法畫直觀圖.
3.通過觀察用平行投影與中心投影畫出的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表現(xiàn)形式.
4.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.
5.掌握和理解點(diǎn)、空間直線、平面之間的關(guān)系.
6.掌握空間線線、線面、面面平行的判定和性質(zhì).掌握空間線線、線面、面面垂直的判定和性質(zhì).
7.掌握空間向量及其基本運(yùn)算(空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量)；理解共線、共面向量、空間向量定理，掌握空間向量的數(shù)量積；理解空間向量坐標(biāo)概念，運(yùn)算，法向量.
8.理解空間角，會(huì)求線線角、線面角、面面角.
9.掌握空間距離，會(huì)由坐標(biāo)求兩點(diǎn)間的距離及點(diǎn)到平面的距離. 本章重點(diǎn)：1.正投影與三視圖的畫法以及應(yīng)用；2.幾何體的表面積和體積的計(jì)算；3.直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系；4.直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的判定方法和性質(zhì)；5.利用空間向量求空間距離和空間角.
本章難點(diǎn)：1.利用直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直和平行的判定定理與性質(zhì)定理解決有關(guān)問題；2.利用空間向量求空間角. 1.三視圖結(jié)合幾何體求面積、體積是高考熱點(diǎn)，這也是新課改的新增內(nèi)容.空間角是高考的重點(diǎn)，點(diǎn)、線、面的平行和垂直關(guān)系是考查的切入點(diǎn).本章高考時(shí)一般是選擇填空題至多1個(gè)，解答題1個(gè).多是以幾何體為載體，主要考查平行、垂直或計(jì)算多面體的面積與體積、空間角.
2.高考考查的熱點(diǎn)是三視圖和幾何體的結(jié)構(gòu)特征借以考查空間想象能力，往往是以選擇題、填空題出現(xiàn).
3.核心是以幾何體為載體，考查平行、垂直關(guān)系的性質(zhì)與判定.
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
10.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖
典例精析
題型一 結(jié)構(gòu)特征判斷
【例1】 以下命題錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是 ( )
①以直角三角形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓錐；
②圓臺(tái)的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交；
③四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形；
④三棱錐的四個(gè)面可能都是直角三角形；
⑤有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái).
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【解析】①錯(cuò)：只能以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周才可；
②錯(cuò)：必相交；
③對：如圖，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD時(shí)，四個(gè)側(cè)面均為直角三角形；
④對：如圖，∠ABC＝90°，PA⊥底面，則四個(gè)面均為直角三角形；
⑤錯(cuò)：只有側(cè)棱延長交于一點(diǎn)時(shí)才是棱臺(tái).
綜上，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是3，故選C.
【點(diǎn)撥】判斷結(jié)構(gòu)特征必須嚴(yán)格依據(jù)柱、錐、臺(tái)、球的定義，結(jié)合實(shí)際形成一定的空間想象能力.
【變式訓(xùn)練1】給出下列命題：
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；
②圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；
③在圓臺(tái)的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；
④圓柱的任意兩條母線所在直線互相平行.
其中正確命題的序號是 .
【解析】②④.
題型二 直觀圖的斜二測畫法
【例2】 用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來的圖形是( )
【解析】按照斜二測畫法的作圖規(guī)則，對四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證，可知只有選項(xiàng)A符合題意.
【點(diǎn)撥】本題已知直觀圖，探求原平面圖形，考查逆向思維能力.要熟悉運(yùn)用斜二測畫法畫水平放置的直觀圖的基本規(guī)則，注意直觀圖中的線段、角與原圖中的對應(yīng)線段、角的關(guān)系.
【變式訓(xùn)練2】已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，求原三角形的面積.
【解析】因?yàn)橹庇^圖的坐標(biāo)軸成45°，橫長不變，豎長畫成原來的一半，則還原成原圖時(shí)將45°還原成90°，則過A′作A′O′與O′C′成45°，將其還原成90°，且AO＝2A′O′.
而A′D′＝32a.所以A′O′＝32a×2＝62a，所以AO＝6a.
所以S△ABC＝12BC? AO＝12a×6a＝62a2.
題型三 三視圖與直觀圖
【例3】 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的三視圖如下.
(1)求出該四棱柱的表面積；
(2)求證：D1C⊥AC1；
(3)設(shè)E是DC上一點(diǎn)，試確定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并說明理由.
【解析】(1)求得該四棱柱的表面積為S＝11＋22.
(2)證明：由三視圖得該四棱柱為直四棱柱且底面為直角梯形.
在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，連接C1D.
因?yàn)镈C＝DD1，所以四邊形DCC1D1是正方形.
所以DC1⊥D1C.
又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，
所以AD⊥平面DCC1D1.
又D1C?平面DCC1D1，所以AD⊥D1C.
因?yàn)锳D，DC1?平面ADC1，且AD∩DC1＝D，
所以D1C⊥平面ADC1.
又AC1?平面ADC1，所以D1C⊥AC1.
(3)連接AD1，AE，設(shè)AD1∩A1D＝M，
BD∩AE＝N，連接MN.
因?yàn)槠矫鍭D1E∩平面A1BD＝MN，
要使D1E∥平面A1BD，須使MN∥D1E，
又M是AD1的中點(diǎn)，所以N是AE的中點(diǎn).
又易知△ABN≌△EDN，
所以AB＝DE，即E是DC的中點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí)，可使D1E∥平面A1BD.
【點(diǎn)撥】本題以三視圖為載體考查空間線面位置關(guān)系的證明以及表面積的計(jì)算，解決此類問題的關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治�，從三視圖中發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，然后在直觀圖中解決問題.
【變式訓(xùn)練3】如圖所示，甲、乙、丙是三個(gè)幾何體的三視圖，則甲、乙、丙對應(yīng)的標(biāo)號依次是( )
①長方體；②圓錐；③三棱錐；④圓柱.
A.④③②B.①③②C.①②③ D.④②③
【解析】選A.
總結(jié)提高
學(xué)習(xí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)要以對實(shí)物的觀察想象為基礎(chǔ)，再以課本中給定的柱、錐、臺(tái)、球的概念為標(biāo)準(zhǔn)對實(shí)物進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，通過這一過程提高空間想象能力.
10.2 空間幾何體的表面積與體積
典例精析
題型一 表面積問題
【例1】 圓錐的高和底面半徑相等，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等，求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比.
【解析】設(shè)圓錐的半徑為R，母線長為l，圓柱的半徑為r，軸截面如圖，
S圓錐＝π(R＋l)R ＝π(R＋2R)R＝(2π＋π)R2，
S圓柱＝2πr(r＋r)＝4πr2，
又rR＝R－rR，所以rR＝12，
所以S圓柱S圓錐＝2－11.
【點(diǎn)撥】 軸截面是解決內(nèi)接、外切問題的一種常用方法.
【變式訓(xùn)練1】一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m).
(1)試畫出它的直觀圖；
(2)求它的表面積和體積.
【解析】(1)直觀圖如圖所示.
(2)該幾何體的表面積為(7＋2) m2，體積為32 m3.
題型二 體積問題
【例2】 某人有一容積為V，高為a且裝滿了油的直三棱柱形容器，不小心將該容器掉在地上，有兩處破損并發(fā)生滲漏，其位置分別在兩條棱上且距下底面高度分別為b、c的地方，且容器蓋也被摔開了(蓋為上底面)，為減少油的損失，該人采用破口朝上，傾斜容器的方式拿回家，估計(jì)容器內(nèi)的油最理想的剩余量是多少？
【解析】 如圖，破損處為D、E，且AD＝b，EC＝c，BB1＝a， 則容器內(nèi)所剩油的最大值為幾何體ABC－DB1E的體積.
因?yàn)?＝ ，而 ＝a＋c2a，
由三棱柱幾何性質(zhì)知 ＝23V， ＝V3，
所以 ＝a＋c3aV，
又因?yàn)?＝ba，所以 VD－ABC＝ba?V3＝bV3a，
所以 ＝ ＋VD－ABC＝a＋b＋c3aV.
故油最理想的剩余量為a＋b＋c3aV.
【點(diǎn)撥】將不規(guī)則的幾何體分割為若干個(gè)規(guī)則的幾何體，然后求出這些規(guī)則幾何體的體積，這是求幾何體體積的一種常用的思想方法.
【變式訓(xùn)練2】一個(gè)母線長與底面圓直徑相等的圓錐形容器，里面裝滿水，一鐵球沉入水內(nèi)，有水溢出，容器蓋上一平板，恰與球相切，問容器內(nèi)剩下的水是原來的幾分之幾？
【解析】設(shè)球的半徑為R，則圓錐的高h(yuǎn)＝3R，底面半徑r＝3R，
V圓錐＝π3?(3R)2?3R＝3πR3；V球＝43πR3.
所以V球V圓錐＝43πR33πR3＝49，
所以剩下的水量是原來的1－49＝59.
【點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵是求圓錐與球的體積之比，作出軸截面，找出球半徑和圓錐高、底面半徑的關(guān)系即可.
題型三 組合體的面積、體積的關(guān)系
【例3】底面直徑為2，高為1的圓柱截成橫截面為長方形的棱柱，設(shè)這個(gè)長方形截面的一條邊長為x，對角線長為2，截面的面積為A，如圖所示：
(1)求面積A以x為自變量的函數(shù)式；
(2)求截得棱柱的體積的最大值.
【解析】 (1)A＝x?4－x2(0＜x＜2).
(2)V＝x?4－x2?1＝x2(4－x2) ＝－(x2－2)2＋4.
因?yàn)?＜x＜2，所以當(dāng)x＝2時(shí)，Vmax＝2.
【點(diǎn)撥】關(guān)鍵是理解截面，并且注意x的范圍從而求體積，在求第(2)求體積時(shí)還可利用不等式.
【變式訓(xùn)練3】(2010山東檢測)把一個(gè)周長為12 cm的長方形圍成一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，該圓柱的底面周長與高的比為( )
A.1∶2B.1∶πC.2∶1D.2∶π
【解析】設(shè)長方形的一條邊長為x cm，則另一條邊長為(6－x) cm，且0＜x＜6，以長為(6－x) cm的邊作為圍成的圓柱的高h(yuǎn)，若設(shè)圓柱的底面半徑為r，則有2πr＝x，所以r＝x2π，因此圓柱的體積V＝π?(x2π)2(6－x)＝14π(6x2－x3)，由于V′＝14π?(12x－3x2)，令V′＝0，得
x＝4，容易推出當(dāng)x＝4時(shí)圓柱的體積取得最大值，此時(shí)圓柱的底面周長是4 cm，圓柱的高是2 cm，所以圓柱的底面周長與高的比為2∶1，選C.
總結(jié)提高
表面積包含側(cè)面積和底面積；直棱柱的側(cè)棱長即側(cè)面展開圖矩形的一邊；對于正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)，其所有側(cè)面多邊形均全等，故可先求一個(gè)的側(cè)面積，再乘以側(cè)面多邊形的個(gè)數(shù).
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