重難點(diǎn):會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組;了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組;會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決.
考綱要求:①會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.
②了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.
③會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決.
經(jīng)典例題:求不等式|x-2|+|y-2|≤2所表示的平面區(qū)域的面積.
當(dāng)堂練習(xí):
1.下列各點(diǎn)中,與點(diǎn)(1,2)位于直線x+y-1=0的同一側(cè)的是 ( �。�
A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3)
2.下列各點(diǎn)中,位于不等式(x+2y+1)(x-y+4)<0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是 ( �。�
A.(0,0) B.(-2,0) C.(-1,0) D.(2,3)
3.用不等式組表示以點(diǎn)(0,0)、(2,0)、(0,-2)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部,該不等式組為_______.
4.甲、乙兩地生產(chǎn)某種產(chǎn)品,它們可調(diào)出的數(shù)量分別是300t和750t.A、B、C三地需要該種產(chǎn)品的數(shù)量分別為200t、450t、400t,甲運(yùn)往A、B、C三地每1t產(chǎn)品的運(yùn)費(fèi)分別為6元、3元、5元,乙地運(yùn)往A、B、C三地每1t產(chǎn)品的運(yùn)費(fèi)分別為5元、9元、6元,為使運(yùn)費(fèi)最低,調(diào)運(yùn)方案是_______,最低運(yùn)費(fèi)是_______.
5.畫出不等式組表示的平面區(qū)域.
6.一個(gè)農(nóng)民有田2畝,根據(jù)他的經(jīng)驗(yàn),若種水稻,則每畝每期產(chǎn)量為400千克;若種花生,則每畝每期產(chǎn)量為100千克,但水稻成本較高,每畝每期需240元,而花生只要80元,且花生每千克可賣5元,稻米每千克只賣3元,現(xiàn)在他只能湊足400元,問這位農(nóng)民對(duì)兩種作物各種多少畝,才能得到最大利潤?
7.已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范圍.
8.給出的平面區(qū)域是△ABC內(nèi)部及邊界(如下圖),若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個(gè),求a的值及z的最大值.
9.若把滿足二元二次不等式(組)的平面區(qū)域叫做二次平面域.
(1)畫出9x2-16y2+144≤0對(duì)應(yīng)的二次平面域;
(2)求x2+y2的最小值;
(3)求的取值范圍.
參考答案:
經(jīng)典例題:思路分析:主要是去絕對(duì)值,可以運(yùn)用分類討論思想依絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào).也可以運(yùn)用化歸、轉(zhuǎn)化思想化陌生問題為熟悉問題,化復(fù)雜問題為簡(jiǎn)單問題.
解法一:原不等式|x-2|+|y-2|≤2等價(jià)于
作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域:它是邊長為22的正方形,其面積為8.
解法二:∵|x-2|+|y-2|≤2是|x|+|y|≤2經(jīng)過向右、向上各平移2個(gè)單位得到的,
∴|x-2|+|y-2|≤2表示的平面區(qū)域的面積等于|x|+|y|≤2表示的平面區(qū)域的面積,由于|x|+|y|≤2的圖象關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)均對(duì)稱,故求得平面區(qū)域如下圖所示的面積為2,故|x|+|y|≤2的面積為4×2=8.
∴所求面積為8.
當(dāng)堂練習(xí):
1.C; 2.B; 3. ; 4. 甲地運(yùn)往B地300t,乙地運(yùn)往A地200t,運(yùn)往B地150t,運(yùn)往C地400t,5650元;
5. 思路分析:不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集,因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.
解:運(yùn)用“直線定界,特殊點(diǎn)定域”的方法,先畫出直線x-y+5=0(畫成實(shí)線),如下圖,取原點(diǎn)(0,0),代入x-y+5.∵0-0+5=5>0,∴原點(diǎn)在x-y表示的平面區(qū)域內(nèi),即x-y+5≥0表示直線x-y+5=0上及右下方的點(diǎn)的集合,同理可得x+y≥0表示直線x+y=0上及右上方的點(diǎn)的集合,x≤3表示直線x=3上及左方的點(diǎn)的集合.
6. 思路分析:這是一個(gè)求最大利潤問題,首先根據(jù)條件設(shè)種兩種作物分別為x、y畝,根據(jù)條件列出不等式組和目標(biāo)函數(shù)畫圖,即可得到最大利潤.
解:如下圖所示,設(shè)水稻種x畝,花生種y畝,則由題意得
而利潤P=(3×400-240)x+(5×100-80)y
=960x+420y(目標(biāo)函數(shù)),
可聯(lián)立得交點(diǎn)B(1.5,0.5).
故當(dāng)x=1.5,y=0.5時(shí),
Pmax=960×1.5+420×0.5=1650,
即水稻種1.5畝,花生種0.5畝時(shí)所得到的利潤最大.
7. 思路分析:可以把a(bǔ)、b分別看成橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),根據(jù)不等式組畫出可行域,然后求目標(biāo)函數(shù)9x-y的最大值和最小值.
解:?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為在約束條件下,目標(biāo)函數(shù)z=9a-b的取值范圍.
畫出可行域如下圖所示的四邊形ABCD及其內(nèi)部.
由,解得得點(diǎn)A(0,1).
當(dāng)直線9a-b=t通過與可行域的公共點(diǎn)A(0,1)時(shí),
使目標(biāo)函數(shù)z=9a-b取得最小值為zmin=9×0-1=-1.
由解得得點(diǎn)C(3,7).
當(dāng)直線9a-b=t通過與可行域的公共點(diǎn)C(3,7)時(shí),
使目標(biāo)函數(shù)z=9a-b取得最大值為zmax=9×3-7=20.
∴9a-b的取值范圍是[-1,20].
8. 思路分析:本題考查逆向思維、數(shù)形結(jié)合的思想方法,利用圖形的特性和規(guī)律,解決數(shù)的問題或?qū)D形信息轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息,削弱或清除形的推理部分,使要解決的形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論.
解:直線z=ax+y(a>0)是斜率為-a,y軸上的截距為z的直線族,從題圖可以看出,當(dāng)-a小于直線AC的斜率時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解是(1,4);當(dāng)-a大于直線AC的斜率時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解是(5,2);
只有當(dāng)-a等于直線AC的斜率時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個(gè),線段AC上的所有點(diǎn)都是最優(yōu)解.直線AC的斜率為-,所以a=時(shí),z的最大值為×1+4=.
9. 思路分析:本題可以使用線性規(guī)劃的基本思路,像二元一次不等式所示的區(qū)域一樣,我們?nèi)匀豢梢杂谩熬€定界,點(diǎn)定域”的方法來確定9x2-16y2+144≤0所表示的平面區(qū)域.
解:(1)將原點(diǎn)坐標(biāo)代入9x2-16y2+144,其值為144>0,因此9x2-16y2+144≤0表示的平面區(qū)域如圖所示的陰影部分,即雙曲線-=1的含有焦點(diǎn)的區(qū)域.
(2)設(shè)P(x,y)為該區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn),由上圖可知,當(dāng)P與雙曲線的頂點(diǎn)(0,±4)重合時(shí),|OP|取得最小值4.所以,x2+y2=|OP|2=16.
(3)取Q(2,0),則直線PQ的斜率為k=,其直線方程為y=k(x-2),代入9x2-16y2+144=0得(9-16k2)x2+64k2x-64k2+144=0,由Δ=0得k=±,
由圖可知k≥或k≤-.
故所求的取值范圍是(-∞,- ]∪[,+∞).
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