一、選擇題

1.在空間直角坐標系中，已知點P給出下列4條敘述：

①點P關(guān)于軸的對稱點的坐標是；

②點P關(guān)于平面的對稱點的坐標是；

③點P關(guān)于軸的對稱點的坐標是；

④點P關(guān)于原點的對稱點的坐標是.

其中正確的個數(shù)是(     ).

A.3         B.2         C.1         D.0

考查目的：考查空間直角坐標系中對稱點的坐標特征.

答案：C.

解析：根據(jù)空間直角坐標系中，關(guān)于線和面對稱的點的坐標的特征可以判斷，點P關(guān)于軸的對稱點的坐標是，關(guān)于平面的對稱點的坐標是，關(guān)于軸的對稱點的坐標是，關(guān)于原點的對稱點的坐標是.答案應選C.

 

2.已知空間直角坐標系中點P(1，2，3)，現(xiàn)在軸上取一點Q，使得最小，則Q點的坐標為(     ).

A.(0，0，1)       B.(0，0，2)        C.(0，0，3)       D.(0，1，0)

考查目的：考查空間兩點間的距離公式的應用.

答案：C.

解析：設點Q的坐標為(0，0，)，則，當時，.

 

3.以正方體的棱AB、AD、所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，若正方體的棱長為1，則棱中點的坐標為(     ).

A.(，1，1)      B.(1，，1)      C.(1，1，)     D.(，，1)

考查目的：考查空間直角坐標系中的中點坐標公式.

答案：C.

解析：分別以正方體的棱AB、AD、所在的直線為軸建立空間直角坐標系，依題意得，點的坐標為(1，1，0)，點的坐標(1，1，1)，所以中點的坐標為(1，1，).

 

二、填空題

4.(2009安徽)在空間直角坐標系中，已知點A(1，0，2)，B(1，-3，1)，點M在軸上，且點M到點A與到點B的距離相等，則M的坐標是          .

考查目的：考查空間直角坐標系中兩點間的距離公式的應用.

答案：(0，-1，0).

解析：設點M的坐標為(0，，0)，則，解得，∴點M的坐標為(0，-1，0).

 

5.設為任意實數(shù)，則點P(1，2，)的集合對應的圖形為           .

考查目的：考查對空間點的坐標和點集所對應的圖形的認識.

答案：過點(1，2，0)且平行于軸的一條直線.

解析：因為點P(1，2，)在空間直角坐標系中，橫坐標、縱坐標不變，只有豎坐標是任意實數(shù)，所以點P(1，2，)表示的點集是經(jīng)過點(1，2，0)且平行于軸(或與平面垂直)的一條直線.

 

6.若P在坐標平面內(nèi)，點A的坐標為(0，0，4)，且，則點P的軌跡是__________.

考查目的：考查空間直角坐標系中動點的軌跡的求法.

答案：坐標平面內(nèi)以(0，0，0)為圓心，以3為半徑的圓.

解析：設點P的坐標為P(，，0)，依題意得，整理得，∴，這個方程表示，P點的軌跡是坐標平面內(nèi)以點(0，0，0)為圓心，以3為半徑的圓.

 

三、解答題

7.以棱長為的正方體的三條棱為坐標軸，建立空間直角坐標系，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上.若點P為對角線AB的中點，且點Q在棱CD上運動，求PQ的最小值.

考查目的：考查空間直角坐標系，空間兩點間的距離公式與二次函數(shù)的最值.

答案：.

解析：由題意得A(，，0)，B(0，0，)，C(0，，0)，D(0，，).∵點P為對角線AB的中點，∴點P的坐標為(，，).設點Q的坐標為(0，，)，則

，∴當時，PQ取得最小值，此時Q為CD的中點.

 

 

8.在空間直角坐標系中，已知A(3，0，1)和B(1，0，－3)，試問：

⑴在軸上是否存在點，滿足？

⑵在軸上是否存在點，使為等邊三角形？若存在，試求出點坐標.

考查目的：考查空間兩點間的距離公式的應用.

答案：⑴軸上任意一點都滿足條件；⑵在軸上存在點，使得為等邊三角形，點的坐標為(0，，0)，或(0，，0).

解析：⑴假設在軸上存在點，使得.∵在軸上，∴可設點M的坐標為(0，，0).由得，顯然，此式對任意的恒成立，說明軸上所有的點都滿足關(guān)系；

⑵假設在軸上存在點，使為等邊三角形.由⑴知，軸上任意一點都有，∴只要就可以使得是等邊三角形.∵，，∴，解得，∴在軸上存在點，使得為等邊三角形，符合題意的點的坐標為(0，，0)，或(0，，0).

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