在我看來，數(shù)學的真正美妙的地方之一在于它可以被檢驗；你不必把任何人的話當做圣經(jīng)。如果有人給你說一些事情是真的，那你可以讓他證明；最好是，如果你真的想同數(shù)學家一樣思考，那你可以嘗試主動證明它。不要等著有人拿勺子喂你。
一、質疑一切
對于一些人的話，你的反應應該是懷疑，并且試圖去找到一個反例；即便是真的，這種對你的鍛煉也是有益的，同時也能幫助我們對事情的判斷力（注意，在真實生活場景中過度這么做可能會失去朋友，一直挑別人的刺，誰都會不爽）。
某報紙的一份來信說時間旅行從邏輯上是不可能的，因為如果時間旅行是可能的，那我們是會看到很多來自未來的人。我有一些想法來反駁這個邏輯：或許時間旅行只允許我們穿越到過去某點時間（比人類歷史還要長）；或許時間旅行者不允許和我們交流；或許時間旅行有一個范圍，能穿越的時間不超過一年，而時間旅行在數(shù)年后才出現(xiàn)（并且時間旅行的機器不能穿越）。
二、寫下來
寫下來？你可能會問，這跟和數(shù)學家一樣思考有個啥關系。是這樣的，語言是由一些論據(jù)構建的。高水平數(shù)學家的論據(jù)都是證明的形式（不僅僅是給出正確的數(shù)字答案）。
學生通常看不到寫下來的需要；他們常常說：“我來大學不是來寫作文的”，“我已經(jīng)知道正確答案了”，“你懂的”。他們的作業(yè)都是一些沒有關系的符號堆砌但依然可以獲取高分。但是，如果你想去理解數(shù)學并且思路清晰，通過寫的練習可以迫使你對自己的觀點想的更清楚。如果你不能正確的描述，那么很可能你并不是真正理解了你要表達什么。這是一個可以學習和發(fā)展自己技術的很好機會。其實寫的一手好文章在任何領域都是很有用的技術。
三、試試逆？
語句A=>B是數(shù)學的核心，我們可以表述為如果A是真的，那么B就是真的；
A=>B的逆就是B=>A，例如："如果我是丘吉爾，那我是英國人"的逆是"如果我是英國人，那么我是丘吉爾"；
這個簡單的例子說明了，即便是一個語句是真的，那么其逆可能非真；可能真也可能非真，說之前要搞清楚；
一個好的數(shù)學家，當提出一個A隱含B的語句時，通常會思考"其逆為真么？"，把這個問題印到腦子里，作為你和數(shù)學打交道的工具；然后，其逆是否為真并不是很重要，關鍵是磨練數(shù)學的能力；
[說個題外話，通常人們會犯一個大錯誤，就是當A=>B時，認為如果A非真的，那么B也非真的；這是不對的，這個語句只是在說當A為真是會發(fā)生什么，并沒有說A非真時的情況�，F(xiàn)在可以像一個數(shù)學家一樣思考一下，給一個例子。]
四、試著互逆
一條語句'A=>B'的互逆是'notB=>notA'；
例如：
1）『如果我是丘吉爾，那么我就是英國人』的互逆就是『如果我不是英國人，那么我就不是丘吉爾』
2）『如果我不是美國人，那么我就不是德克薩斯人』的互逆就是『如果我是德克薩斯人，那么我就是美國人』
3）『x^2-4x-5=0=>x>=-2』的互逆就是『x<-2>x^2-4x-5!=0』
A=>B的互逆命題和自身的真假驚奇的一致！也就是說，如果A=>B是真的，那么notA=>notB就是真的，反之亦然�？梢则炞C一下上面的例子。一開始可能很難在腦子里形成固有概念-其實大多數(shù)人都不相信；有一個著名的關于互逆的教育實驗，叫做Wason的選擇任務�？梢钥匆豢茨闶欠衲芡ㄟ^測試，只有不到10%的人通過了；
由于互逆經(jīng)常用做證明，并且日常推理也經(jīng)常搞錯，所以你應該掌握。
五、考慮極端情況
面對一個命題，要在少量極端的假設情況下看看；如果需要的參數(shù)為0或者1會怎樣？如果把需要的函數(shù)定義為f(x)=0會怎樣？數(shù)據(jù)集為空呢？如果需要的序列為1，1，1，1……呢？直線或者圓會有什么結果？
這些例子可以幫我們更深刻的理解，意味著命題可以應用的場景；
考慮一個極端的例子『如果Y=X^2，Z=Y^2，所以Z!=X^2』。貌似Y和Y^2一般場景下是真的，但其實不然，比如Y=1，當X=1的條件下；
用一個極端的例子說明下列原理是錯誤的：
原理：假設a,b,c,d是正整數(shù)，如果ab=cd，a=c，那么b=d；
想給出好的極端例子需要積累，因此需要平時注意收集，用到的時候信手捏來，有一個訓練方法，想象你正在酣睡，突然大半夜有人把你搖醒說：快！給我一個X的好例子，快！X可以是群組、向量、函數(shù)等數(shù)學對象。
來源：譯言網(wǎng)
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.simonabridal.com/gaozhong/978839.html
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