一、教學內(nèi)容與內(nèi)容解析
1．內(nèi)容：“曲線與方程”是《普通高中數(shù)學課程標準》規(guī)定的教學內(nèi)容：理科選修2-1的2.1.1的內(nèi)容,主要包括（1）曲線的方程與方程的曲線概念；（2）求曲線的方程的一般方法(步驟)；（3）坐標法的基本思想與研究的基本問題.
2．內(nèi)容解析：
在平面直角坐標系建立以后，點坐標(有序?qū)崝?shù)對)；平面曲線(點的集合或軌跡)二元方程.因此, 曲線的方程是幾何曲線的一種代數(shù)表示，方程的曲線則是曲線的方程的一種幾何表示。曲線和方程的這種相互表示，揭示了幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”的統(tǒng)一結(jié)合。曲線與方程的相互轉(zhuǎn)化，豐富了研究幾何問題數(shù)學方法，產(chǎn)生一門新數(shù)學學科---解析幾何，其方法論的意義影響深遠，更便于人們在數(shù)字化時代，用計算機工具研究處理幾何問題。
研究曲線與方程的目的是把曲線的幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系（方程），并通過代數(shù)運算處理已得到的數(shù)量關(guān)系,進而得出曲線的幾何性質(zhì)以及研究他們之間的相互關(guān)系，并達到利用曲線為人們服務的目的．因此，通過這一部分內(nèi)容學習，可以加深學生對數(shù)學中的代數(shù)方法的認識，也能夠讓學生更好地體會數(shù)學的本質(zhì)．
“曲線和方程”是解析幾何中最基本（奠基）內(nèi)容，是學生體會并理解圓錐曲線與其方程的基礎(chǔ)。不但為學習橢圓、雙曲線、拋物線內(nèi)容做準備，而且為學習研究其他曲線提供了理論和方法的準備．因此，教學時不僅要讓學生學習如何求曲線的方程，而且要通過這一內(nèi)容培養(yǎng)學生的坐標法思想，使學生明白求出曲線方程的真正意義在于利用曲線的方程去研究曲線.
本節(jié)中的“曲線與方程”的概念，它是對以前學過的函數(shù)及其圖象、直線的方程、圓的方程等數(shù)學知識的思想方法提升、深化，是研究問題“由特殊到一般，再到特殊”整個過程的一個階段。它刻畫了曲線（幾何圖形）和方程（代數(shù)關(guān)系）間的一一對應關(guān)系，并根據(jù)曲線與方程的對應關(guān)系，介紹了求解曲線方程的一般方法，并要求學生能通過方程來處理一些簡單的幾何問題，從而達到培養(yǎng)學生“初步通過研究方程來研究曲線的幾何性質(zhì)”目的�！皵�(shù)形結(jié)合思想”在本章中得到了充分體現(xiàn)，貫穿于研究圓錐曲線的全過程，
二、教學目標與目標解析
1．目標：
（1）通過實例理解曲線的方程與方程的曲線的概念，能判斷已經(jīng)學習過的特殊的曲線與方程之間是否具有互為表示的關(guān)系；
（2）通過實例體會求曲線的方程的基本步驟，能求出給定幾何特征的曲線的方程；
（3）通過實例體會不同的平面直角坐標系對同一曲線方程的影響，體會如何“恰當”地建立平面直角坐標系.
（4）通過一些簡單曲線的方程及其研究，體會坐標法的基本思想及簡單應用．
2．目標解析：
教學目標（1）和（2）是本節(jié)課的教學重點，教學時落實好目標（1）、（2）和（3）是實現(xiàn)教學目標（4）的前提與保證.
在學生通過函數(shù)y =f(x)及其圖象、直線與方程、圓與方程的學習，對曲線的方程與方程的曲線這些概念初步認識的基礎(chǔ)上，現(xiàn)在的任務是要建立曲線與方程之間的一般性的概念，讓學生能從“定義”的角度去理解這些概念.
教學目標（3）是學生初學時不易達到的目標，教學時要提供學生熟悉的曲線（比如直線，圓等）在不同坐標系中的方程的簡潔程度，讓學生體會建立坐標系時應該關(guān)注的要點．
對許多與曲線有關(guān)的具體問題而言，原本是沒有坐標系的．因此，通過這樣的問題，可以使學生體會如何建立適當?shù)淖鴺讼�，求出問題中曲線的方程，并通過曲線的方程幫助解決問題，以便實現(xiàn)教學目標（4）．
三、教學問題診斷分析
1．如何理解曲線與其方程之間的關(guān)系？學生可以很流利地背出曲線與其方程應該滿足的兩條，但是如何證明“一條曲線與一個方程之間具有互為表示的關(guān)系”，這是學生學習時可能遇到的第一個教學問題. 這個問題可以結(jié)合“直線與其方程”、“圓與其方程”進行說明．
2．在求曲線的方程時，如何建立平面直角坐標系？這是學生會遇上的第二個教學問題，也是本節(jié)課的教學難點之一．教學時，應通過實例，幫助學生總結(jié)出建立坐標系的基本要點，并用具體問題讓學生練習進行體會．
3．在將曲線上的點應該滿足的幾何特征轉(zhuǎn)化為點的坐標應滿足的等式后，常常遇上“將所得等式化簡得到所求方程”的問題．對于有些復雜的等式，化簡是一個學生不易把握的問題，學生在此極易出錯，這是第三個教學問題.教學時不能因為這個問題而使教學偏離重點，因而宜使用信息技術(shù)工具通過對比表示驗證方法解決這個問題.
4．學生學習時，可能會因更多地關(guān)注代數(shù)運算而忽略數(shù)學思想的提煉，這個教學問題的解決，需要教師有目的地進行引領(lǐng).
四、教學支持條件
1．在進行本節(jié)課的教學時，學生已經(jīng)在數(shù)學必修1中學習了函數(shù)y =f(x)及其圖象，在數(shù)學必修2中學習了直線與方程、圓與方程，這些內(nèi)容是學生理解曲線與方程概念的重要基礎(chǔ)，因此教學時應充分利用這一教學以備條件，引導學生多進行歸納與概括.
2．曲線與方程是數(shù)形結(jié)合的典范，教學這一內(nèi)容時會涉及大量圖形的繪制與方程的簡化等代數(shù)運算，因此，《幾何畫板》是重要的支持條件，教學中應充分利用這一工具，不僅可以節(jié)省大量時間用于學生思考，而且可以對實際問題中的數(shù)據(jù)形象地進行演示分析.
五、教學過程設計
[問題1]請同學們閱讀P34的內(nèi)容，對每個實例用簡練的兩句話進行概括總結(jié)，（1）第一、三象限角平分線和二元方程x=y（或x-y=0）之間有什么對應關(guān)系？（2）圓和二元方程之間有什么對應關(guān)系？
在坐標系中，
（1） 第一、三象限角平分線上任一點的坐標都是二元方程x-y=0的解；
（1’） 圓上任一點的坐標都是二元方程的解；
（2） 以二元方程x-y=0的（任一）解為坐標的點都在第一、三象限角平分線上。
(2’) 以二元方程的（任一）解為坐標的點都在圓上。
意圖：從學生熟悉的曲線與方程的特例出發(fā)，為引出曲線的方程與方程的曲線的概念做鋪墊.
師生活動：讓學生嘗試直線與方程、圓與方程中，“曲線上的點與二元方程（實）解之間的對應關(guān)系”的要求；教師向“一般曲線上的點與一般二元方程（實）解之間的對應關(guān)系” 的要求上進行引領(lǐng)，為介紹曲線的方程與方程的曲線的概念再做準備.
[問題2] 在坐標系中，對一般的曲線與二元方程，你能給出曲線的方程和方程的曲線的概念嗎？
意圖：給出曲線的方程與方程的曲線的概念.
師生活動：讓學生先概括表達，然后教師引領(lǐng)學生閱讀教材上的“定義”，給出曲線的方程和方程的曲線的概念.最后形象化給出：
[問題3]試談一談，我們對“方程f(x,y)=0是曲線的方程”、 “曲線C是方程f(x,y)=0的曲線” 的概念掌握，應把握哪些方面呢？
意圖：加深對曲線的方程與方程的曲線的概念中關(guān)鍵方面的理解.
師生活動：學生回答，教師評析并給出：
㈠曲線的方程與方程的曲線的概念中的條件（1）、（2）缺一不可，相互獨立，并構(gòu)成一個完整一個整體；【練】學生完成教材P37練習第1題，并將題中的“中線AO（O為原點）所在直線的方程”修改為“中線AO（O為原點）的方程”后，提問學生結(jié)論有無改變？
㈡若“方程f(x,y)=0是曲線的方程”或 “曲線C是方程f(x,y)=0的曲線”前提下，點M在曲線C上其坐標是方程的解；【練】學生完成P37練習第2題．
㈢曲線的方程的化簡過程一定要同解變形，否則，不滿足概念中的條件（1）、（2）。即打破“點與解間的一一對應關(guān)系”；
㈣本概念是在“建立坐標系”這一平臺作出的，所以“建系”不同，所求的方程形式不同。
[問題4] 請畫出函數(shù)的圖象，圖象（曲線）C上的點相應于坐標軸的距離滿足什么關(guān)系等式（方程）？是否滿足這個關(guān)系等式（方程）的點都在圖象（曲線）C上？
意圖：理解用解析式表示的函數(shù)（方程）與其圖象（曲線）之間的關(guān)系，鞏固曲線的方程與方程的曲線的概念.
師生活動：（1）師生畫出函數(shù)的圖象C；（2）學生思考“圖象C上的點相應于坐標軸的距離滿足什么關(guān)系等式是“圖象C上的點到兩坐標軸的距離的乘積是常數(shù)k”；（3）學生思考“到兩坐標軸的距離的乘積是常數(shù)的點都在圖象C上”嗎？；（4）師生得出“到兩坐標軸的距離的乘積是常數(shù)k的點的軌跡方程是”；（5）證明所得結(jié)論，完成教材P35例1．
[問題5] 閱讀教材P35“2．1．2求曲線的方程”的第一段內(nèi)容，你能概括出解析幾何研究的問題以及研究幾何問題的思想方法（或具體方法）嗎？
意圖：明確解析幾何研究的基本內(nèi)容.
師生活動：學生閱讀教材并提煉回答內(nèi)容，請學生回答，教師點評總結(jié)：“研究曲線與方程的目的是把曲線的幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系（方程），并通過代數(shù)運算處理已得到的數(shù)量關(guān)系,進而得出曲線的幾何性質(zhì)以及研究他們之間的相互關(guān)系，并達到利用曲線為人們服務的目的”．并指出在這個過程中體現(xiàn)了解析幾何研究的兩個問題以及“數(shù)形結(jié)合”的思想方法（具體的方法為“坐標法”）。
[問題6] 請學生們閱讀例2, 并對照例2的解題步驟,你們能寫出求曲線方程的一般步驟嗎？（略微提及例2的其他解法）
意圖：歸納求曲線的方程的步驟，體會坐標法的基本思想．
師生活動：根據(jù)上述過程讓學生試總結(jié)求曲線的方程的步驟（見教材P36），特別要強調(diào)步驟5，并對步驟2、步驟5在解題中如何進行量力處理.
[問題7] 已知一條直線和一個點F，點F到l的距離是2．一條曲線上面的點到F的距離減去到l的距離所得的差都是2．你能建立適當?shù)淖鴺讼�，求出這條曲線的方程嗎？
意圖：幫助學生熟悉和鞏固求曲線的方程的步驟.進一步鞏固強調(diào)步驟5在解題中如何進行量力處理.
師生活動：（1）師生討論如何建立坐標系；
（2）讓學生按步驟求出曲線的方程；
（3）師生討論如何添加所求曲線方程的附加約束條件（①在設任一點坐標時，依幾何條件加以對坐標約束；②方程化簡過程是否為同解變形，在哪一步不是同解變形？③用問題中幾何特征與所求方程曲線進行比較檢驗）．
（4）【問】：有無其它建立坐標系的方法，求點A的軌跡方程？所求得的方程與上面“點A的軌跡方程”相同嗎？教師歸納總結(jié)建立坐標系的一般要點，并指出“建系”不同，所得方程不同，“建系”適當與否，影響所求方程（形式）的簡易．【練】：教材P37練習第3題．
[問題8]建立坐標系后，是否一條曲線方程唯一？你們對“坐標法”解決幾何問題有何體會？請歸納一下本節(jié)課所學內(nèi)容？
意圖：歸納總結(jié)本節(jié)內(nèi)容,突出重點知識和基本方法.
師生活動：學生思考交流，師生共同總結(jié).
五、目標檢測設計
1．教材P37，習題2.1：A組第2、3、4題；B組第1、2題．
2．已知曲線的方程為，并且曲線經(jīng)過點，兩點，
（1）求曲線的方程；
（2）若在的正半軸上存在一點，過點的直線交曲線，于，兩點，求的中點的軌跡方程.
作者簡介：王志軍 1968年12月22日生，河北省邢臺市人，1989年6月28日畢業(yè)于蘇州鐵道師范學院數(shù)學系，2001年6月29日獲北京師范大學碩士學位。現(xiàn)在山西省百年重點名校太原五中擔任高中數(shù)學和數(shù)學競賽教學工作，中學數(shù)學高級教師，中國數(shù)學奧林匹克高級教練，山西省數(shù)學會資深教練。山西省太原市十大文明形象大使，山西省太原市教育系統(tǒng)優(yōu)秀黨員，優(yōu)秀班主任。自2001年至今，所帶學生獲全國高中數(shù)學奧林匹克國家級金牌2枚，銀牌3枚，銅牌4枚，由數(shù)學單科競賽成績被保送或加10～30分錄取進入清華、北大學習的學生有31人，有58人獲全國高中聯(lián)賽山西省一等獎。所帶理科實驗班和普通班的數(shù)學高考成績?nèi)〉昧钊俗⒛康膬?yōu)異成績。主編的《高中數(shù)學問題誤解診療》大全第二卷由山西教育出版社出版，參編的《高中數(shù)學知識精講與能力訓練》分冊（高三）由光明日報出版社出版，《高中數(shù)學導學》（高三）由中央民族大學出版社出版，《2011年山西省高考數(shù)學應試一點通》由山西經(jīng)濟出版社出版。在國家級、�。ú浚┘墝W術(shù)期刊上發(fā)表論文《高中生在數(shù)學課堂教學中思維參與的研究》、《異面直線間定長連線段中點軌跡問題》、《以教導學 以學促教》、《就如何學好高中數(shù)學答學生及家長問》、《有關(guān)函數(shù) 、、、間定義域互求的幾點商榷》、《學習高中數(shù)學應注意的問題》、《高中數(shù)學教材（試驗修訂本）中平移內(nèi)容的新講與新編》9篇；在國家級、�。ú浚┘壗逃虒W報刊上發(fā)表教育性文章《我的師生觀》、《對評課的再認識》、《漫談請家教（上、下）》等7篇；發(fā)表的文學作品有《為師的“苦澀”》、《為師之悔》、《夢中情人》等。
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.simonabridal.com/gaozhong/148377.html
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